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12 分钟
动态电路
2025-03-30
Notes
Circuit

电容元件#

电容元件是电容器的理想化模型。电容元件是一种电荷与电压相约束的电容器的理想化模型 , 具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用。

线性非时变电容元件#

电容元件的特性曲线是 u−qu-q 平面上一条过原点的直线，且不随时间而变化。即，

q(t)u(t)=C（常数）\frac{q(t)}{u(t)}=C\text{（常数）}

电容元件的 VCR#

在关联参考方向下：

i=dqdt=dCu(t)dt=Cdudti=\frac{dq}{dt}=\frac{dCu(t)}{dt}=C\frac{du}{dt}

由此我们可以看出，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。电容元件是一种动态元件。

电容元件的基本性质#

动态特性#

∣i∣∝{dudt=0→i=0相当于直流dudt↑→∣i∣↑dudt↓→∣i∣↓|i|\propto \begin{cases} \frac{du}{dt}=0 \to i=0 \text{相当于直流} \\ \frac{du}{dt}\uparrow \to|i|\uparrow \\ \frac{du}{dt}\downarrow\to|i|\downarrow \end{cases}

电容在直流电路中相当于开路——隔直作用

记忆性质#

在关联参考方向下：i=Cdudti=C\frac{du}{dt}。如果我们知道电流求电压，就需要积分：

uc(t)=1C∫−∞ti(ξ)dξ=1C∫−∞t0i(ξ)dξ+1C∫t0ti(ξ)dξ=uc(t0)+1C∫t0ti(ξ)dξt>t0\begin{align} u_{c}(t)&=\frac{1}{C}\int^{t}_{-\infty}i(\xi)d\xi \\ &=\frac{1}{C}\int^{t_{0}}_{-\infty}i(\xi)d\xi+\frac{1}{C}\int^{t}_{t_{0}}i(\xi)d\xi \\ &=u_{c}(t_{0})+\frac{1}{C}\int^{t}_{t_{0}}i(\xi)d\xi \\ t>t_{0} \end{align}

我们将 uc(t0)u_{c}(t_{0}) 称作初始电压，结论: 在某一时刻的电容电压不仅与该时刻的电流有关 , 而且还与此时刻以前的所有电流值有关。电容电压具有 “ 记忆 “ 性质 ,电 容元件是一种记忆元件。

电容电压的连续性#

设 uc(t0)=uc(0)=0u_{c}(t_{0})=u_{c}(0)=0。假设电流按照图示变化： image.png 那么根据之前的表达式，可以得到电压的变化： image.png 我们可以看出电容电流波形虽然不连续 , 但电容电压波形却是连续的。因此，在电容电流为有界值的情况下，电容电压不能跃变。

无源性#

在某时刻电容的储能只与该时刻的电压有关，电容的储能总为正。电容是无源元件。

电容元件的串并联#

电容元件的串联#

n 个电容元件串联，其可以用一个等效电容来替代，其等效电容 CsC_{s} 满足：

1Cs=1C1+1C2+⋯+1Cn\frac{1}{C_{s}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\dots+\frac{1}{C_{n}}

image.png

电容元件的并联#

n 个电容元件并联，也可以用一个电容元件等效替代，其等效电容 CpC_{p} 满足：

Cp=C1+C2+⋯+CnC_{p}=C_{1}+C_{2}+\dots+C_{n}

image.png

电感元件#

电感元件是电感器的理想化模型。

线性非时变电感元件#

电感元件的特性曲线是 i−ψi-\psi 平面上一条过原点的直线，且不随时间变化，即：

ψ(t)i(t)=L(L为常数)\frac{\psi(t)}{i(t)}=L\text{(L为常数)}

电感元件的 VCR#

在关联参考方向下：

u=dψdt=Ldidtu=\frac{d\psi}{dt}=L\frac{di}{dt}

由此我们可以观察出，电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率。电感元件是一种动态元件。

电感元件的基本性质#

动态特性#

∣u∣∝didt{didt=0→u=0（相当于直流）didt↑→∣u∣↑didt↓→∣U∣↓|u|\propto \frac{di}{dt}\begin{cases} \frac{di}{dt}=0\to u=0 \text{（相当于直流）}\\ \frac{di}{dt}\uparrow\to|u|\uparrow \\ \frac{di}{dt}\downarrow\to|U|\downarrow \end{cases}

记忆性质#

在关联参考方向下: 如果我们已知电压求电流就会得到这个积分式:

i(t)=1L∫−∞tu(ξ)dξ=1L∫−∞t0u(ξ)dξ+1L∫t0tu(ξ)dξ=i(t0)+1L∫t0tu(ξ)dξt>t0\begin{align} i(t)&=\frac{1}{L}\int^{t}_{-\infty}u(\xi)d\xi \\ &=\frac{1}{L}\int^{t_{0}}_{-\infty}u(\xi)d\xi+\frac{1}{L}\int^{t}_{t_{0}}u(\xi)d\xi \\ &=i(t_{0})+\frac{1}{L}\int^{t}_{t_{0}}u(\xi)d\xi \\ t>t_{0} \end{align}

我们称 i(t0)i(t_{0}) 为电感的初始电流。由此我们可以看出：某一时刻的电感电流不仅与该时刻的电压有关，而且还与此时刻之前所有的电压值有关。电感电流具有记忆性质，电感元件是一种记忆元件。

电感电流的连续性#

在电感电压为有界值的情况下，电感电流不能跃变——电感电流的连续性。

无源性#

某时刻电感的储能只与该时刻的电流有关，电感的储能总为正。电感是无源元件。

电感元件的串并联#

电感元件的串联#

n 个串联的电感元件可以用一个等效电感元件替代，其中等效电感 LsL_{s} 满足：

Ls=L1+L2+⋯+LnL_{s}=L_{1}+L_{2}+\dots+L_{n}

image.png

电感元件的并联#

n 个电感元件并联，也可以用一个等效电感元件替代，其中等效电感 LpL_{p} 满足：

1Lp=1L1+1L2+⋯+1Ln\frac{1}{L_{p}}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}+\dots+\frac{1}{L_{n}}

换路定则及初始值的确定#

基本概念#

  1. 换路：由于某种原因（如电源或某部分电路的接通与断开，电路元件参数的改变等）使电路的工作状态发生变化，使其由某一种工作状态变化为另一种工作状态，将这种工作状态的改变称为换路。
  2. 过渡过程：换路过程中，电路的电量随时间变化的过程称为过渡过程或瞬态。
  3. 初始值：电量在换路后瞬间的值。
  4. 换路时刻：t=0t=0, 换路前：t=0−t=0^-, 换路后：t=0+t=0^+

换路定则#

在电容电流与电感电压为有界值的的情况下，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变。即:

{uc(0+)=uc(0−)iL(0+)=iL(0−)\begin{cases} u_{c}(0^+)=u_{c}(0^-) \\ i_{L}(0^+)=i_{L}(0^-) \end{cases}

初始值的确定#

  1. 由 0−0^- 时刻的等效电路计算 uc(0−)u_{c}(0^-) 和 iL(0−)i_{L}(0^-)。在直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路。
  2. 根据换路定则确定 uc(0+),iL(0+)u_{c}(0^+)\text{,}i_{L}(0^+).
  3. 由 0+0^+ 时刻的等效电路计算其他各电量的初始值。在 0+0^+ 等效电路中电容用电压值等于 uc(0+)u_{c}(0^+) 的电压源替代。电感用电流值等于 iL(0+)i_{L}(0^+) 的电流源替代。

动态电路#

基本概念#

  1. 状态变量：如果已知该量在初始时刻的值，则根据该时刻的输入就能确定电路中任何量在随后时刻的值，称具有这种性质的量为状态变量。电容电压与电感电流就是状态变量。
  2. 动态电路：至少含有一个动态元件的电路。
  3. 一节动态电路：用一阶微分方程描述的电路就是一阶动态电路。
  4. 零输入响应 (z.i.r)：在没有外加激励作用下，仅有动态元件的初始储能产生的响应。
  5. 零状态响应 (z.s.r)：动态元件的初始储能为零，仅有外加激励产生的响应。
  6. 全响应 (c.r
  7. )：零输入响应与零状态响应之和。
  8. 时间常数：一阶 RC 电路中： τ=RC\tau = RC. 一阶 RL 电路中，τ=LR\tau=\frac{L}{R} 。电压、电流衰减的快慢取决时间常数的大小 τ\tau 越大 , 衰减越慢 , 反之则越快。

一阶 RC 电路的零输入响应#

image.png

uR−uc=0uR=−iR,i=Cdudt\begin{align} u_{R}-u_{c}&=0 \\ u_{R}=-iR,i&=C\frac{du}{dt} \\ \end{align}

两式联立，就可以得到一个一阶常系数线性齐次微分方程：

RCducdt+uc=0,t≥0+RC\frac{du_{c}}{dt}+u_{c}=0,t\geq 0^+

通过解微分方程，我们就可以得到：

uc(t)=U0e−1RCt=uc(0+)e−1RCt,t≥0+i(t)=Cdudt=CU0(−1RC)e−1RCt=−U0Re−1RCt,t≥0+\begin{align} u_{c}(t)&=U_{0}e^{-\frac{1}{RC}t} \\ &=u_{c}(0^+)e^{-\frac{1}{RC}t},t\geq 0^+ \\ \\ i(t)&=C\frac{du}{dt} =CU_{0}\left( -\frac{1}{RC} \right)e^{-\frac{1}{RC}t} \\ &=-\frac{U_{0}}{R}e^{-\frac{1}{RC}t},t\geq 0^+ \end{align}

画出图像： image.png 由此可见，一阶 RC 电路的零输入响应是一个放电过程。其中，我们令 s=−1RC=−1τs=-\frac{1}{RC}=-\frac{1}{\tau}, 称为 RC 电路的固有频率。由此我们也可以写出零输入响应的标准形式：

y(t)=y(0+)e−tτ,t≥0+y(t)=y(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}}, t\geq_{0}^+

因此我们可以得到结论：只要知道了某量的初始值和电路的时间常数，就能得到该量在过渡过程中的变化规律。

一阶 RL 电路的零输入响应#

image.png 方法与之前类似，最后我们可以求出：

iL(t)=I0e−RLtuL(t)=LdiLdt=LI0(−RL)e−RLt=−I0Re−RLtuR(t)=uL(t)=−I0Re−RLt\begin{align} i_{L}(t)&=I_{0}e^{-\frac{R}{L}t} \\ u_{L}(t)&=L\frac{di_{L}}{dt}=LI_{0}\left( -\frac{R}{L} \right)e^{-\frac{R}{L}t} \\ &=-I_{0}Re^{-\frac{R}{L}t} \\ u_{R}(t)&=u_{L}(t)=-I_{0}Re^{-\frac{R}{L}t} \end{align}

画出变化曲线： image.png 由此可见，一阶 RL 电路的零输入响应是一个放电过程。令 s=−RL=−1τs=-\frac{R}{L}=-\frac{1}{\tau}, 称其为 RL 电路的固有频率。我们就可以写出电路中各量的零输入响应的标准形式：

y(t)=y(0+)e−tτ,t≥0+y(t)=y(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}},t\geq_{0}^+

因此我们可以得到结论：只要知道了某量的初始值和电路的时间常数，就能得到该量在过渡过程中的变化规律。

一阶 RC 电路的零状态响应#

以该电路为例： image.png 在开关闭合前，电容没有初始储能，即 uc(0−)=0u_{c}(0^-)=0，在 t=0t=0 时刻开关闭合，即得到下面的电路： image.png 列出 KVL 方程，即：

t=0+Ri+uc=Us\begin{align} t=0^+ \\ Ri+u_{c}=U_{s} \\ \end{align}

将电流 i 用电容表示，就得到：

RCducdt+uc=Us,t≥0+RC\frac{du_{c}}{dt}+u_{c}=U_{s},t\geq0^{+}

这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程，对该方程求解，得到：

uc(t)=−Use−1RCt+Us,t≥0+又可以写为:uc(t)=Us(1−e−1RCt),t≥0+从而求得it为：it=UsRe−1τt\begin{align} &u_{c}(t)=-U_{s}e^{-\frac{1}{RC}t}+U_{s},t\geq0^+\\ &\text{又可以写为:} \\ &u_{c}(t)=U_{s}\left( 1-e^{-\frac{1}{RC}t} \right),t\geq0^+ \\ &\text{从而求得}i_{t}\text{为：} \\ &i_{t}=\frac{U_{s}}{R}e^{-\frac{1}{\tau}t} \end{align}

时间常数 τ=RC\tau = RC，固有频率 s=−1RCs = -\frac{1}{RC}。 画出其变化曲线： image.png 由此我们可以得出：一阶 RC电路的零状态响应是储能从无到有的建立过程，即充电过程。

一阶 RL 电路的零状态响应#

以该电路为例： image.png 方法与之前类似，我们可以得出以下关系：

iL(t)=Is(1−e−RLt)=Is(1−e−tτ)u(t)=iR(t)=IsRe−tτ\begin{align} i_{L}(t)=I_{s}(1-e^{-\frac{R}{L}t})=I_{s}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) \\ u(t)=i_{R}(t)=I_{s}Re^{-\frac{t}{\tau}} \end{align}

时间常数 τ=LR\tau=\frac{L}{R} ,固有频率：s=−RLs=-\frac{R}{L} 画出其变化曲线： image.png 由此我们可以得出：一阶 RL 电路的零状态响应是储能从无到有的建立过程，即充电过程。

状态变量的零状态响应的一般形式#

y(t)=y(∞)(1−e−tτ),t≥0+y(t)=y(\infty)(1-e^{-\frac{t}{\tau}}),t\geq 0^+

零输入响应满足齐次性与叠加性。

一阶电路的全响应#

以该电路为例： image.png

全响应=零输入响应+零状态响应 对于该电路来说：

uc(t)=uCz.i.r(t)+uCz.s.r(t)=uC(0+)e−tτ+Us(1−e−tτ)\begin{align} u_{c}(t)&=u_{Cz.i.r}(t)+u_{Cz.s.r}(t) \\ &=u_{C}(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}}+U_{s}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) \end{align}

一阶电路的三要素法#

image.png 我们之前已经可以用经典的方法（解方程）来得到电容电压：

uc(t)=uCh(t)+uCp(t)uc(t)=[uc(0+)−Us]e−tτ+Us\begin{align} u_{c}(t)&=u_{Ch}(t)+u_{Cp}(t) \\ u_{c}(t)&=[u_{c}(0^+)-U_{s}]e^{-\frac{t}{\tau}}+U_{s} \end{align}

又因为 uCp(t)=Us=uc(∞)u_{Cp}(t)=U_{s}=u_{c}(\infty)（稳态值），A=uc(0+)−Us=uc(0+)−uc(∞)A=u_{c}(0^+)-U_{s}=u_{c}(0^+)-u_{c}(\infty) (初始值), 我们就可以得到：

uc(t)=uc(∞)+[uc(0+)−uc(∞)]e−tτu_{c}(t)=u_{c}(\infty)+[u_{c}(0^+)-u_{c}(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}

在这个式子中，共有三个量：稳态值，初始值以及时间常数。因此，我们只要知道了这三个量，我们就可以求解电路中的任意量，该方法即为三要素法。下面写出三要素法的一般形式：

y(t)=y(∞)+[y(0+)−y(∞)]e−tτy(t)=y(\infty)+[y(0^+)-y(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}

三要素的求解#

初值 y(0+)y(0^+)#

  1. 画 0−0^- 时等效电路，求出 uc(0−)或iL(0−)u_{c}(0^-)\text{或}i_{L}(0^-) (此时电容开路，电感短路)
  2. 画 0+0^+ 等效电路，求出 y(0+)y(0^+)（此时电容用电压值为 uc(0+)=uc(0−)u_{c}(0^+)=u_{c}(0^-) 的电压源替代，电感用电流值为 iL(0+)=iL(0−)i_{L}(0^+)=i_{L}(0^-) 的电流源替代）。

稳态值 y(∞)y(\infty)#

画 ∞\infty 时等效电路，求出 y(∞)y(\infty)。（此时电容开路，电感短路）。

时间常数 τ\tau#

求 t≥0+t\geq 0^+ 时，除去动态元件后的含源单口网络的戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 ReqR_{eq}。

τ=ReqC或τ=LReq\tau=R_{eq}C\text{或}\tau=\frac{L}{R_{eq}}
动态电路
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作者
MareDevi
发布于
2025-03-30
许可协议
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