稳定的定义#

依旧以一个例子开始，假设有一段这样的轨道，有A,B,C三个位置，其中A,B两点光滑，C点处有摩擦。在这三个点各方一个小球，那么这三个小球都是可以保持静止不动的，用数学的语言来表达，就是

即位移x对于时间t的导数为0(即小球的速度等于0)，也就是他的位置不随时间变化。那么这三个点，我们就称之为平衡点(Equilibrium Point) 。 那么不稳定的情况呢？ 依旧是上面的例子，但是我们做出一点改变：将三个小球都在橙色位置释放，对于A小球，他就会一直走下去，随着时间的增加越走越远；对于B小球，因为B处没有摩擦力，那么B小球就会一直在凹糟处做简谐运动；对于C小球，因为摩擦力的存在，他来回运动的幅度会越来越小，最后静止在C点。 对于这三种情况，我们一次称他为不稳定(Unstable),临界稳定(Marginal Stable),稳定(Stable) 。用数学的语言来表达呢，就是:

在经典控制理论中，我们讨论的一般都是系统的稳定性，我们也可以把上面的图看成系统。例如我们对于B来说：B系统处于一个临界稳定的状态，既然是系统，就要考虑到系统的输入。如果我们对这个系统施加一个输入，比如踢一下这个小球，如果我们是假的这个力不够大的话，那么B小球最后还是会在凹槽左右做简谐运动。也就是说，如果我们的输入是有界的，那么系统的输出也是有界的。这就是BIBO稳定(Bounded Input - Bounded Output) 。生活中，比如体感平衡车就是这种稳定系统：如果我们前倾，那么车就会向前移动。如果前倾的幅度过大，你就会扑街。

对于学习控制理论，我们一定要明确稳定性分析的对象。因为同样的系统可能会存在多个平衡点。我们以一个单摆为例。
对于这个单摆来说，他有两个平衡位置A,B。对于B来说，他是一个稳定的平衡点，因为当单摆偏离了这个点，他最后会自己摆回来。而A点并不是，当你最开始摆在A点时，他会保持静止不动，但当他偏离这个位置，在没有外力的作用下，他就回不来了。如果我们希望他在上面也能保持住的话，我们可以在单摆的两侧各装一个吹风机。而吹风机就根据单摆偏离的角度，来调整吹风机的吹风量，这样就形成了一个反馈系统。