网络定理

2025-03-23

齐性定理#

线性电路的齐次性（比例性）#

对于独立源的输入，我们通常称其为激励。而由激励产生的输出，我们称之为响应（比如某个支路的电流，电压）。在线性电路中，响应与激励存在着线性关系：在单一激励的线性电路中 , 若激励增加或减小n 倍 , 响应也同样增加或减小 n 倍 , 这种性质称为齐次性 (homogeneity) 或比例性(proportionality) 。它是线性 (linearity) 的一个表现。

齐性定理#

在单一激励的线性电路中 , 如果激励增加或减小 n 倍, 则响应也同样增加或减小 n 倍。设激励为 $e(t)$ , 响应为 $r(t)$ , $r(t)=Ke(t)$ (线性电路中，K 为常数), 则，

nr(t)=Kne(t)

叠加定理#

在由线性电阻、线性受控源及独立源组成的电路中 ,每一元件的电流或电压可以看成是每一个独立源单独作用于电路时 , 在该元件上产生的电流或电压的代数和。

单独作用的含义：当某一独立源单独作用时，其他独立源应为零值，即独立电压源短路，独立电流源开路
注意 : 受控源不能单独作用 , 即独立源单独作用时 , 受控源必须保留在电路中 , 而且要注意控制量的变化。

功率与叠加定理#

以该电路为例，计算 2 欧姆电阻消耗的功率：

\begin{rcases} \begin{array}{c} {{p=i_{2}^{2}R=(\frac23)^{2}\times2=\frac89\mathbf W}}\\ {{p^{'}=i_{2}^{'2}R=(\frac13)^{2}\times2=\frac29\mathbf W}}\\ {{p^{''}=i_{2}^{''2}R=(\frac13)^{2}\times2=\frac29\mathbf W}}\\ \end{array} \end{rcases} p\neq p^{'}+p^{''}

所以功率不满足叠加定理。

注意事项#

叠加定理只能应用于线性电路。
叠加时要注意电压电流方向。
功率不能使用叠加定理
受控源在应用叠加定理时要保留。

替代（置换）定理#

若某网络中所有支路电压与支路电流都有唯一解，且已知某支路 k 的电流 $i_{k}$ 或电压 $u_{k}$ ，则可以用一个电压等于 $u_{k}$ 的电压源或电流等于 $i_{k}$ 的电流源去等效替代这条支路，替代后网络其他部分的电压与电流保持不变。例如，对于下图的电路：我们就可以将 $N_{2}$ 用电压等于 $u_{k}$ 的电压源去替代，或者用一个电流等于 $i_{k}$ 的电流源去替代。

注意事项#

只有当替代前后的电路有唯一解时，才可以用替代定理。
替代定理不仅可以用于线性网络，也可以用于非线性网络。
替代后，只能求解电路各部分的电压，电流等，不能进行等效变换求等效电阻，因为电路已经改变。
如果某支路有控制量，若替代后该控制量将不复存在，则不能在该支路使用替代定理。

戴维南定理#

任何含源线性单口网络 N(指含有电源，线性电阻，受控源的单口网络)，不论其结构如何复杂，就其端口特性来说，都可以用一个电压源与电阻的串联支路等效替代。其中，等效电压源的电压等于网络 N 的开路电压 $u_{oc}$ , 串联电阻 $R_{eq}$ 等于该网络除源后（即所有独立源为零值，受控源要保留），所得网络的等效电阻, 又称为戴维南等效电阻。用图示来表示，即为：观察可得，端口电压 $u$ 满足：

u=u_{oc}-iR_{eq}

注意事项#

除源是指令所有独立源为零值，即电压源短路，电流源开路。受控源必须保留。
单口网络 N 中不能含有控制量在外部电路的受控源，但控制量可以是 N 的端口电压或电流。即在进行网络分解时，一定把受控源与控制量放在同一部分。

戴维南等效电阻的求解#

外加电源法#

基于单口网络输入电阻概念而来

R_{eq}=\frac{u_{0}}{i_{0}}

短路电流法#

基于单口网络的伏安特性而来当 $i=0$ 时，开路电压 $u=u_{oc}$ ；当 $u=0$ 时，短路电流 $i_{sc}=\frac{u_{oc}}{R_{eq}}$ 。所以当我们知道开路电压与短路电流时：

R_{eq}=\frac{u_{oc}}{i_{sc}}

戴维南等效电路的 VCR 确定法#

基于单口网络端口的 VCR 而来。参考下面两个网络：通过观察可以发现，如果我们可以求出一个端口网络 $u$ 与 $i$ 的关系式，则其常数项即为开路电压，亦为戴维南等效电路中电压源电压，电流 $i$ 前面的系数即为戴维南等效电阻。

诺顿定理#

任何含源线性单口网络 N (指含有电源，线性电阻，受控源的单口网络)，不论其结构如何复杂，就其端口特性来说，都可以用一个电流源与电阻的并联支路等效替代。其中，等效电流源的电流等于网络 N 的短路电流 $i_{sc}$ , 并联电阻 $R_{eq}$ 等于该网络除源后（即所有独立源为零值，受控源要保留），所得网络的等效电阻, 又称为诺顿等效电阻。用图示来表示，即为：观察可得，端口电流 i 满足：

i=i_{sc}-\frac{u}{R_{eq}}=i_{sc}-G_{eq}u

对于同一个二端口网络，诺顿等效电阻与戴维南等效电阻相等

最大功率传输定理#

由含源线性单口网络传递给可变负载 $R_{L}$ 的功率为最大的条件是: $R_{L}=R_{s}$ 。最大功率为：

P_{Lmax}=\frac{u_{s}^2}{4R_{s}}

其中 $R_{s}$ 为电源的内阻或单口网络的等效电阻 $u_{s}$ 为电压源的电压或单口网络的开路电压

注意事项#

如果 $R_{s}$ 可变而 $R_{L}$ 固定，则应使 $R_{s}$ 尽量减少才能使 $R_{L}$ 获得的功率增大。当 $R_{s}$ 等于 0 时， $R_{L}$ 获得最大功率。
单口网络和它的等效电路，就其内部功率而言是不等效的，所以，由等效电阻算得的功率一般并不等于网络内部消耗的功率。因此当负载得到最大功率时，其传递效率不一定等于 50%。