正弦稳态电路

2025-04-01

正弦量#

正弦量的三要素#

正弦量指随时间按正弦规律变化的量。时域表示： $f(t)=F_{m}\cos(\omega t+\psi)$ 。其中 $F_{m}$ 称为振幅， $\omega =\frac{d(\omega t+\psi)}{dt}$ 称为角频率。 $\psi$ 为初相位或初相角，简称为初相。其值在 $\pm \pi$ 内。初相反映了正弦量初始值的大小。振幅，频率，初相统称为正弦量的三要素。

$\psi>0$ ：最大值发生在原点之左。 $\psi<0$ ：最大值发生在原点之右。

同频率正弦量的比较#

两个同频率的正弦量： $f_{1}(t)=F_{1m}\cos(\omega t+\psi_{1})\text{,}f_{2}(t)=F_{2m}\cos(\omega t+\psi_{2})$ 。他们的相位差： $\phi=(\omega t+\psi_{1})-(\omega t+\psi_{2})=\psi_{1}-\psi_{2}$ 。若 $\phi>0$ ，则称 $f_{1}(t)\text{超前}f_{2}(t)$ 。反之则称 $f_{1}(t)\text{滞后}f_{2}(t)$ 。若 $\phi=0$ 则称二者同相。特殊的，当 $\phi=\pm \pi$ 时，我们称二者为反相，当 $\phi=\pm \frac{\pi}{2}$ 时，我们称二者为正交。

同频率正弦量的运算#

同频率正弦量的代数加、微分、积分 , 其结果仍为同频率的正弦量。只是幅度和相位发生了改变。

正弦量的相量#

正弦量的相量表示#

欧拉公式： $e^{j\theta}+\cos \theta+j\sin \theta$ 。我们用 $\omega t+\psi$ 代替 $\theta$ ，两边同时乘以常数 $F_{m}$ ，就能得到： $F_{m}e^{j(\omega t+\psi)}=F_{m}\cos(\omega t+\psi)+j\sin (\omega t+\psi)$ 。其实部即为正弦量 $f(t)$ ，所以我们可以表示为：

\begin{align} f(t)&=F_{m}\cos(\omega t+\psi)=\mathrm{Re}[F_{m}e^{j(\omega t+\psi)}] \\ &=\mathrm{Re}[F_{m}e^{j\psi}+e^{j\omega t}]=\mathrm{Re}[\dot{F}_{m}\cdot e^{j\omega t}] \end{align}

其中： $\dot{F}_{m}=F_{m}e^{j\psi}$ ，简记为: $\dot{F}_{m}=F_{m}\angle\psi$ 。 $\dot{F}_{m}=F_{m}\angle\psi$ 是旋转向量 $\dot{F}_{m}\cdot e^{j\omega t}$ 的复振幅。所以对于一个电压正弦量（电流相同）：

u(t)=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\psi_{u})\leftrightarrow \dot{U}=U \angle\psi_{u}\text{（有效值向量）}

基尔霍夫定律的相量形式#

我们先写出 KCL 的时域形式： $\sum_{k=1}^K i_{k}=0$ ，我们使用相量来表示：

\begin{align*} \sum_{k=1}^K i_k &= \sum_{k=1}^K \text{Re} \left[ \dot{I}_{km} e^{j\omega t} \right] = \text{Re} \left[ \sum_{k=1}^K \dot{I}_{km} e^{j\omega t} \right] \\ &= \text{Re} \left[ \left( \sum_{k=1}^K \dot{I}_{km} \right) e^{j\omega t} \right] = \text{Re} \left[ \left( \sum_{k=1}^K \sqrt{2} \dot{I}_k \right) e^{j\omega t} \right] \\ &= 0 \end{align*}

由此我们就可以得到 KCL 的向量形式：

\sum_{k=1}^K \dot{I}_k=0

同理也可已得到 KVL 的向量形式：

\sum_{k=1}^K \dot{U}_k = 0

R, L, C 元件 VCR 的相量形式#

电阻元件 VCR 的向量形式#

\begin{align} i(t)=I_{m}\cos(\omega t+\psi_{i})&=\mathrm{Re}[\sqrt{ 2 }\dot{I}e^{j\omega t}] \\ u=Ri&=\mathrm{Re}[\sqrt{ 2 }\dot{I}Re^{j\omega t}] \\ &=\mathrm{Re}[\sqrt{ 2 }\dot{U}e^{j\omega t}] \end{align}

所以我们就可以得到电阻元件的 VCR 相量形式：

\dot{U}=\dot{I}R

进而我们可以推出：

\dot{U}\angle\psi_{u}=R\dot{I}=RI\angle\psi_{i}\to\begin{cases} U=RI \\ \psi_{u}=\psi_{i} \end{cases}

即：电阻元件的电压与电流同相位。

电感元件 VCR 的向量形式#

\begin{align*} i(t) &= I_m \cos(\omega t + \psi_i) = \text{Re}\left[\sqrt{2}i e^{j\omega t}\right] \\ \text{根据 VCR } u(t) &= L \frac{di}{dt} = L \cdot \text{Re}\left[\sqrt{2}(j\omega \dot{I}) e^{j\omega t}\right] \\ &= \text{Re}\left[\sqrt{2}(j\omega L \dot{I}) e^{j\omega t}\right] \\ &= \text{Re}\left[\sqrt{2}\dot{U} e^{j\omega t}\right] \end{align*}

由此我们可以得出电感元件 VCR 的相量形式：

\dot{U}=j\omega L\dot{I}

进一步分析：

\begin{align*} \dot{U} &= U \angle \psi_u = j \omega L \dot{I} = j \omega L I \angle \psi_i \\ &= \omega L I \angle (\psi_i + 90^\circ) \rightarrow \begin{cases} U = \omega L I \\ \psi_u = \psi_i + 90^\circ \end{cases} \end{align*}

即：电感元件的电压超前电流 $90^\circ$ 。

电容元件 VCR 的相量形式#

\begin{align*} u(t) &= U_m \cos(\omega t + \psi_u) = \mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\dot{U} e^{j\omega t}\right] \\ \text{根据VCR：} \quad i(t) &= C \frac{d u}{d t} = C \frac{d}{d t} \left\{\mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\dot{U} e^{j\omega t}\right]\right\} \\ &= \mathrm{Re}\left[\sqrt{2}(j\omega C \dot{U}) e^{j\omega t}\right] \\ &= \mathrm{Re}\left[\sqrt{2}\dot{I} e^{j\omega t}\right] \end{align*}

由此我们可以得出电容元件 VCR 的相量形式：

\dot{I}=j\omega C\dot{U}

进一步分析：

\begin{align*} i &= I \angle \psi_i = j \omega C \dot{U} = j \omega C U \angle \psi_u \\ &= \omega C U \angle (\psi_u + 90^\circ) \rightarrow \begin{cases} I = \omega C U \\ \psi_i = \psi_u + 90^\circ \end{cases} \end{align*}

即：电容元件的电流超前电压 $90^\circ$ 。

欧姆定律的相量形式#

将 R, L, C 元件相量形式的 VCR 重写如下：

\begin{align} \dot{U}&=R\dot{I}_{R} \\ \dot{U}_{L}&=j\omega R\dot{I}_{L} \\ \dot{U}_{C}&=\frac{1}{j\omega C}\dot{I}_{C} \end{align}

对比可以得出，这三个式子都可以用一个通式来表示：

\dot{U}=Z\dot{I}

这个通式就是欧姆定律的相量形式，其中， $Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}$ ，我们又称其为阻抗（单位与电阻相同）。同样的，我们又可以定义 $Y=\frac{\dot{I}}{\dot{U}}=\frac{1}{Z}$ ，称之为元件的导纳（单位与电导相同）。

R, L, C 元件的阻抗和导纳#

阻抗#

\begin{align} Z_{R}&=R \\ Z_{L}&=j\omega L \\ Z_{C}&=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C} \end{align}

阻抗的实部称为电阻，用符号 R 表示。阻抗的虚部称为电抗，用符号 X 表示。对于电感元件来说： $Z_{L}=j\omega L$ 他只有虚部，所以电阻部分为零，只有电抗部分： $X_{L}=\omega L$ 。我们也称之为感抗，其与 $\omega$ 成正比。特殊的，当 $\omega=0$ 时， $X_{L}=0$ ，这时候即为直流，我们称其为导直性质。对于电容元件，与电感类似，我们将 $X_{C}=-\frac{1}{\omega C}$ 称为容抗，其与 $\omega$ 成反比。特殊的，当 $\omega=0$ 时， $|X_{C}=\infty|$ ，这时候即为开路，我们称其为隔直性质。

导纳#

\begin{align} Y_{R}&=\frac{1}{R} \\ Y_{L}&=\frac{1}{j\omega L}=-j \frac{1}{\omega L} \\ Y_{C}&=j\omega C \end{align}

导纳的实部称为电导，用符号 G 表示，虚部称为电纳，用符号 B 表示。相似的，我们将电感元件的电纳 $B_{L}=-\frac{1}{\omega L}$ 称为感纳，电容元件电纳 $B_{C}\omega C=$ 称为容纳。

对于单个元件来说，阻抗和导纳是互为倒数的

单口网络的阻抗和导纳#

以该电路为例，先画出他的向量模型：根据 KVL：

\dot{U} = \dot{U}_L + \dot{U}_R + \dot{U}_C = j\omega L\dot{I} + R\dot{I} + \frac{1}{j\omega C}\dot{I} = \left(R + j\omega L - j\frac{1}{\omega C}\right)\dot{I}

单口网络的阻抗：

\begin{align} Z &= \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = R + j\omega L - j\frac{1}{\omega C} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) \\ &=R + jX = |Z| \angle \psi_{z} = z \angle \psi_{z} \\ |Z| &= z = \sqrt{R^2 + X^2} \quad \text{——阻抗的模}\\ \psi_z &= \arctan \frac{X}{R} = \arctan \left( \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} \right) \quad \text{——阻抗的幅角（阻抗角）} \end{align}

所以，该单口网络的电阻分量：R, 电抗分量： $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$ 。我们有可以得到阻抗直角坐标形式与极坐标形式的关系：

\begin{align} R = |Z| \cos \psi_z = z \cos \psi_z\\ X = |Z| \sin \psi_z = z \sin \psi_z \end{align}

根据阻抗角的正负，我们也可以判断单口网络的性质：

\begin{align} \psi_z > 0 \text{，电压超前电流，} X > 0 \text{ ——电感性电路}\\ \psi_z < 0 \text{，电压滞后电流，} X < 0 \text{ ——电容性电路}\\ \psi_z = 0 \text{，电压与电流同相位，} X = 0 \text{ ——电阻性电路} \end{align}

再来看该并联电路：根据 KCL：

\begin{align} I &= I_G + I_C + I_L = G \dot{U} + j \omega C \dot{U} + \frac{1}{j \omega L} \dot{U} \\ &= (G + j\omega C - j\frac{1}{\omega L})\dot{U} \end{align}

单口网络的导纳：

\begin{align} Y &= \frac{\dot{I}}{\dot{U}} = G + j\omega C - j\frac{1}{\omega L} = G + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right) \\ &= G + jB = |Y| \angle \psi_Y = y \angle \psi_Y \end{align}

我们又可以得到：

\begin{align} |Y| &= y = \sqrt{G^2 + B^2} \quad \text{——导纳的模}\\ \psi_y &= \arctan \frac{B}{G} = \arctan \left( \frac{\omega C - \frac{1}{\omega L}}{G} \right) \quad \text{——导纳的幅角（导纳角）} \end{align}

所以，单口网络的电导为 G，电纳为： $B=\omega C-\frac{1}{\omega L}$ 。根据导纳角的正负也能判断电路性质：

\begin{align} \psi_Y &> 0 \text{，电路呈电容性（电流超前电压）。}\\ \psi_Y &< 0 \text{，电路呈电感性（电流滞后电压）。}\\ \psi_Y &= 0 \text{，电路呈电阻性（电流电压同相位）。} \end{align}