支路电流法&支路电压法

对于一个节点数为 n，支路数为 b 的电路，其 KCL 的独立方程个数为 n -1 个，而 KVL 独立方程个数为 b-n+1 个，共有 b 个方程，再加上其 b 条支路的 VCR 方程，则共有 2 b 个方程。即可通过解该 2 b 个方程来求得各支路电压与电流，这种方法为 2 b 法。 而我们想减少计算量，便将 VCR 方程代入至 KVL 方程中，就可以消去电压未知量，再与 KCL 方程联立，就可以得到 b 个电流变量的 b 个方程，便可以求出个支路电流，该方法为支路电流法。 一旦求出各支路电流，便可以通过 VCR 来求得各支路电压。 相反的，将 VCR 带入到 KCL 方程中，就可以得到 b 个电压变量的 b 个方程，支路电流法解法类似，这种方法称为支路电压法。

节点电压法

节点电压法是以节点电压以电路变量列写方程求解的一种分析方法。 基本思路 : 先选定一参考节点，然后对除参考节点以外的其他节点列 KCL 方程 , 根据各支路的 VCR, 用节点电压表示各支路电流，最后将用节点电压表示的各支路的 VCR 代入 KCL 方程 , 整理即得各节点的以节点电压为变量的方程。 以该电路为例： 选择节点 4 为参考节点，列出其余节点的 KCL 方程。

$$\begin{cases} i_{1}+i_{2}+i_{3} = 0 \\ -i_{2}+i_{4}+i_{5} = 0 \\ -i_{3}-i_{4}+i_{6} = 0 \end{cases}$$

同时写出个支路的 VCR 方程

$$\begin{cases} i_{1} = G_{1}u_{1}-i_{s1} \\ i_{2} = G_{2}u_{2} \\ i_{3} = i_{s3} \\ i_{4} = G_{4}u_{4} \\ i_{5} = G_{5}u_{5} \\ i_{6} = G_{6}u_{6} \end{cases}$$

写出支路电压与节点电压的关系：

$$\begin{align} &u_{1}=u_{n1} \\ &u_{2}=u_{n1}-u_{n2} \\ &u_{3}=u_{n1}-u_{n3} \\ &u_{4}=u_{n2}-u_{n3} \\ &u_{5}=u_{n2} \\ &u_{6}=u_{n3} \end{align}$$

将这组关系带入到上方的 VCR 方程中，就可以得到以节点电压为变量的 VCR 方程。

$$\begin{cases} i_{1}=G_{1}u_{n1}-i_{s1} \\ i_{2}=G_{2}(u_{n1}-u_{n2}) \\ i_{3}=is_{3} \\ i_{4}=G_{4}(u_{n2}-u_{n3}) \\ i_{5}=G_{5}u_{n2} \\ i_{6}=G_{6}u_{n3} \end{cases}$$

将该 VCR 方程组带入到最开始的 KCL 方程中，就可以得到下面的方程组

$$\begin{cases} (G_{1}+G_{2})u_{n1}-G_{2}u_{n2}-0=i_{s1}-i_{s3} \\ -G_{2}u_{n1}+(G_{2}+G_{4}+G_{5})u_{n2}-G_{4}u_{n3}=0 \\ 0-G_{4}u_{n2}+(G_{4}+G_{6})u_{n3}=i_{s3} \end{cases}$$

观察方程的左右，左边都是以节点电压为变量的组合，右边均为已知量。对于第一个方程的左侧来说，是从电阻流出节点 1 的电流代数和，右端是从电源流入节点 1 的电流代数和。后面的两个方程均有这种关系。 下面我们来写出具有四个节点的电路的节点电压方程的一般形式 (四个节点有三个节点电压方程，一个为参考节点) :

$$\begin{cases} G_{11}u_{n1}+G_{12}u_{n2}+G_{13}u_{n3}=i_{s11} \\ G_{21}u_{n1}+G_{22}u_{n2}+G_{23}u_{n3}=i_{s22} \\ G_{31}u_{n1}+G_{32}u_{n2}+G_{33}u_{n3}=i_{s33} \end{cases}$$

用矩阵来表示：

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} G_{11} & G_{12} & G_{13} \\ G_{21} & G_{22} & G_{23} \\ G_{31} & G_{32} & G_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{n1} \\ u_{n2} \\ u_{n3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i_{s11} \\ i_{s22} \\ i_{s33} \end{bmatrix} \end{equation}$$

对于矩阵中对角线元素我们用 $G_{ii}$ 表示，非对角线用 $G_{ij}$ 表示，右端项用 $i_{sii}$ 表示。 $G_{ii}$: 为节点 i 的自电导，等于连接于节点 i 的所有电导之和。自电导恒为正。 $G_{ij}$: 为节点 i 与节点 j 的互电导，等于 i, j 两节点的公有电导之和的负值。互电导恒为负。

若电路中没有受控源，则 $G_{ij}=G_{ji}$

$i_{sii}$: 为电源注入节点的电流，等于连接于节点 i 的各电源产生的电流的代数和。若电流源电流流向节点，则为正，反之为负。

特殊情况的列写

存在电压源与电阻串联的支路

将支路转化为电流源与电阻并联

含有理想电压源支路（没有与电压源串联的电阻）

以该电路为例：

$u_{s6}$ 为一个理想电压源，此时一般有两种情况： (a): 电压源接在参考节点与非参考节点之间，比如节点 1 作为参考节点，节点 3 为非参考节点，那么节点三的节点电压就为已知的为 $u_{s6}$ (b)：电压源接在两个非参考节点之间，比如将节点 4 作为参考节点，电压源就接在了节点 1 与节点 3 之间，此时，我们设电压源所在支路电流 i 为未知量，并在列方程式当作电流源电流对待。同时增列一个电压源支路电压与相关节点电压的方程。对于例子中，即为 $u_{s6}=u_{n3}-u_{n1}$

含有电流源与电阻串联的部分

如图： 对与该电路在列节点 2 与节点 4 的方程时，与电流源串联的电阻 R 是不考虑的（R 对节点 2 是没有贡献的），所以对于节点 2 可以列出如下方程：

$$\left( \frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}}\right)u_{n2}-\frac{1}{R_{1}}u_{n1}-\frac{1}{R_{2}}u_{n3}=-i_{s}$$

电路中有受控源

此时，我们要把受控源当作独立源来对待，并把控制量用节点电压表示（即增加一个控制量与节点电压的关系方程）。

电路中有几个受控源，就要增加几个方程。

网孔电流法

网孔电流法是以网孔电流作为电路变量列写方程求解的一种方法。 基本思路 : 首先指定网孔电流方向 ; 然后对各网孔列写 KVL 方程 , 并根据各支路的 VCR, 将支路电压用网孔电流表示 ;最后将用网孔电流表示的各支路的 VCR 代入 KVL 方程 , 整理即得所求的网孔电流方程。 以该电路为例： 画出该电路的图：

对这三个网孔列写 KVL 方程：

$$\begin{cases} -u_{1}+u_{4}+u_{6}=0 \\ -u_{2}+u_{4}+u_{5}=0 \\ u_{3}-u_{5}+u_{6}=0 \end{cases}$$

写出各支路的 VCR 方程：

$$\begin{cases} u_{1}= R_{1}i_{1}-u_{s1} \\ u_{2}=u_{s2}+R_{2}i_{2} \\ u_{3}=u_{s3}+R_{3}i_{3} \\ u_{4}=R_{4}i_{4} \\ u_{4}=R_{5}i_{5} \\ u_{6}=-u_{s6} \end{cases}$$

再写出支路电流与网孔电流的关系

$$\begin{cases} i_{1}=-i_{m1} \\ i_{2}=-i_{m2} \\ i_{3}=i_{m3} \\ i_{4}=i_{m1}+i_{m2} \\ i_{5}=i_{m2}-i_{m3} \\ i_{6}=i_{m1}+i_{m3} \end{cases}$$

将这组方程带入到 VCR 方程中，就得到了用网孔电流来表示各支路电压的方程：

$$\begin{cases} u_{1}=-R_{1}i_{m1}-u_{s1} \\ u_{2}=u_{s2}-R_{2}i_{m2} \\ u_{3}=i_{s3}+R_{3}i_{m3} \\ u_{4}=R_{4}(i_{m1}+i_{m2}) \\ u_{5}=R_{5}(i_{m2}-i_{m3}) \\ u_{6}=-u_{s6} \end{cases}$$

再将这组方程带入到最初写的三个 kvl 方程中去进行整理：

$$\begin{cases} (R_{1}+R_{4})i_{m1}+R_{4}i_{m2}+0=-u_{s1}+u_{s6} \\ R_{4}i_{m1}+(R_{2}+R_{4}+R_{5})i_{m2}-R_{5}i_{m3}=u_{s2} \\ 0-R_{5}i_{m2}+(R_{3}+R_{5})i_{m3}=-u_{s3}+u_{s6} \end{cases}$$

观察第一个方程的左端，是网孔 1 中电阻电位降的代数和，右端项为网孔 1 中电源电位升的代数和。对于其余两个方程同理。 对于具有三个网孔的电路的网孔电流方程的一般形式为：

$$\begin{cases} R_{11}i_{m1}+R_{12}i_{m2}+R_{13}i_{m3}=u_{s11} \\ R_{21}i_{m1}+R_{22}i_{m2}+R_{23}i_{m3}=u_{s22} \\ R_{31}i_{m1}+R_{32}i_{m2}+R_{33}i_{m3}=u_{s33} \end{cases}$$

该方程组中共有三个要素： $R_{ii}$: 为网孔 i 的自电阻，等于网孔 i 中所有电阻之和。自电阻恒为正。 $R_{ij}$: 为网孔 i 与网孔 j 中的互电阻，等于 i, j 两网孔的公有电阻之和。当两网孔通过共有电阻方向相同时，互电阻为正，反之为负。如果将各网孔的电流的方向设为同一绕行方向，则互阻总为负。

当电路中没有受控源时，$R_{ij}=R_{ji}$

$u_{sii}$: 网孔 i 中各电压源电压的代数和。若沿网孔绕行方向为电位升，则为正，反之为负。

特殊情况的列写

含有电流源与电阻并联的支路

将支路转化为电压源与电阻串联

含有理想电流源支路（没有与之并联的电阻）

此时一般有两种情况： （a）：只有一个网孔电流通过理想电流源支路，此时，该网孔电流已知，即为电流源电流。

（b）：电流源支路是两个网孔的公共支路，此时，要先假设电流源所在支路电压为一个未知量，并在列方程时当作电压源电压对待。同时增列一个电流源支路电流与相关网孔电流的方程。 对于所示电路，即为：$2A=i_{m1}-i_{m2}$ 。

含有电压源与电阻并联的支路

以该电路为例： 此时，在列写方程时，电阻 R 1 是不考虑的（R 1 对网孔 2 无贡献）。所以对于网孔 2 所列方程为 $(R_{2}+R_{3})i_{m2}-R_{3}i_{m1}=u_{s}$

电路中有受控源

把受控源当作独立源对待，并把控制量用网孔电流表示（即增加一个控制量与网孔电流的关系方程）。

电路中有几个受控源，就要增加几个方程。